并

题目大意

给定$n$个矩形，对于每个$k\in [1,n]$，求解选$k$个不同矩形形成的面积并的期望。

解题思路

通过离散化+二位前缀和，求出被覆盖$i$次的面积记作$res[i]$。对于所有$k$，考虑求出被覆盖$i$次的面积的概率，总的情况是$C_n^k$，直接求出选到覆盖$i$次的这块面积的情况数量需要平方的复杂度，考虑正难则反（容斥），没选到这块面积的情况数就是我选的$k$次都是没有覆盖这块面积的矩形，即$C_{n-i}^k$，所以选到这块面积的情况数量就是$C_n^k-C_{n-i}^k$，概率就是$\frac{C_n^k-C_{n-i}^k}{C_n^j}$，期望即$\frac{C_n^k-C_{n-i}^k}{C_n^j}\times res[i]$。

时间复杂度$O(n^2)$

参考代码

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#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 4010
#define int long long
using namespace std;
const double eps = 1e-8;
const int mod = 998244353;
int s[maxn][maxn], C[maxn][maxn], wk[4][2] = {{1, 0}, {-1, 0}, {0, 1}, {0, -1}};
int x1_[maxn], y1_[maxn], x2_[maxn], y2_[maxn];
int res[maxn];
bool vis[maxn][maxn];
int nx[maxn], ny[maxn];

int qmi(int a, int b, int m) {
    int res = 1;  a %= m;
    while(b) {
        if(b & 1)  res = res * a % m;
        a = a * a % m;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

void solve() {
    map<int, int>xs, ys;
    set<int> numx, numy;
    int n;  cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> x1_[i] >> y1_[i] >> x2_[i] >> y2_[i];
        numx.insert(x1_[i]);  numy.insert(y1_[i]);
        numx.insert(x2_[i]);  numy.insert(y2_[i]);
    }
    int curx = 0, cury = 0;

    for (auto u : numx)  {
        xs[u] = ++curx;
        nx[curx] = u;
    }
    for (auto u : numy) {
        ys[u] = ++cury;
        ny[cury] = u;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        s[xs[x1_[i]]][ys[y1_[i]]]++;
        s[xs[x2_[i]]][ys[y1_[i]]]--;
        s[xs[x1_[i]]][ys[y2_[i]]]--;
        s[xs[x2_[i]]][ys[y2_[i]]]++;
    }
    for (int i = 1; i <= curx; ++i) {
        for (int j = 1; j <= cury; ++j) {
            s[i][j] = s[i][j] + s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
        }
    }

    for(int i = 1; i < curx; i++) {
        for(int j = 1; j < cury; j++) {
            int dx = nx[i + 1] - nx[i];
            int dy = ny[j + 1] - ny[j];
            res[s[i][j]] = (res[s[i][j]] + dx * dy % mod) % mod;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int ans = 0;
        int tt = qmi(C[n][i], mod - 2, mod);
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            ans = (ans + res[j] * (C[n][i] - C[n - j][i] + mod) % mod * tt) % mod;
        }
        cout << ans << '\n';
    }

}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);  cout.tie(0);
    for (int i = 0; i <= 2000; ++i) {
        for (int j = 0; j <= i; ++j) {
            if(j == 0 || j == i)  C[i][j] = 1;
            else  C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % mod;
        }
    }
    int t = 1;
    while (t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}